-1 سینوس ، کسینوس ، تانژانت ، کنتانژات ، سکانت ، کسکانت
مثلث قائم الزاویه ای را در نظر بگیرید که در آن c وتر ، یعنی ضلع مقابل به زاویه قائمه و بزرگترین ضلع ، b ضلع مجاور به زاویه x و a ضلع مقابل به x است (شکل 1 را ببینید ) شش تابع مثلثاتی عبارت اند از:
فرمول
secx =سکانت x
هر یک از نسبت های بالا مستقل از مثلث اند و تنها به مقدار زاویه x بستگی دارند . داریم :
عکس سینوس ، کسینوس و تانژانت به ترتیب کسکانت ، سکانت و کتانژانت است با توجه به آنچه گفتیم داریم
اکنون دایره ای را به مرکز مبداء مختصات و شعاع 1 در نظر بگیرید در شکل 2 چنین دایره ای را می بینید . در این شکل چون 1=OA
به همین ترتیب ، می توانیم نسبت های مثلثاتی هر زاویه ای را به عنوان اندازه جبری پاره خط هایی روی محورهای مختصات به دست آوریم . همه زاویه ها را نسبت به جهت مثبت محور x و در جهت خلاف حرکت عقربه های اندازه می گیریم . این به معنی آن است که یک ضلع همه زاویه ها را روی محور x و در جهت مثبت این محور می گیریم . وقتی که ضلع دیگر زاویه در ربع اول باشد ، می گوییم زاویه در ربع اول قرار دارد . وقتی که ضلع دیگر زاویه در ربع دوم باشد ، می گوییم زاویه در ربع دوم قرار داد ، .... توجه کنید که مثلاً وقتی زاویه در ربع اول قرار دارد ، سینوس و کسینوس زاویه هر دو مثبت اند ، وبنابراین تانژانت زاویه نیز مثبت است ، وقتی زاویه در ربع دوم قرار داشته باشد ، سینوس زاویه مثبت ، اما کسینوس زاویه منفی است ، و بنابراین تانژانت زاویه نیز منفی است . در شکل های 8و9و10 علامت نسبت های مثلثاتی زاویه هایی را که در ربع های اول تا چهارم دستگاه مختصات واقع باشند می بینید .
مثال
با فرض مقادیر تابع های مثلثاتی را بدون استفاده از ماشین حساب یا جدول های مثلثاتی به دست آورید.
حل :
بنابر تعریف ، و با توجه به این که وتر برابر با25 و ضلع مقابل برابر با 7 است ، از قضیه فیثاغورس نتیجه می شود که ضلع مجاور برابر با 24 است . (شکل 11)
25
Ө
18*32=72-2 25=a2-c2=b2
7
یا 24=b و در نتیجه ،
24
شکل 11 مثلث قائم الزاویه
مثال حل شده 3
اگر و زاویه Ө منفرجه باشد ، مقادیر را تعیین کنید .
حل :
ضلع مجاور زاویه Ө عبارت است از (شکل 12)
بنابراین ،
محاسبه نسبت های مثلثاتی زاویه (Ө-) بر حسب نسبت های مثلثاتی Ө:
فرض کنید نیم خط OB با محور زاویه Ө می سازد . اگر محور را در جهت حرکت عقربه ساعت به اندازه Ө دوران دهیم ، اندازه زاویه را با Ө- نشان می دهیم . فرض کنید نقطه روی OB باشد به طوری که اگر نقطه ای روی نیم خط OC باشد به طوری که ، آن گاه که با توجه به تقارن نسبت به محور x ها داریم :
که با توجه به تعریف سینوس داریم :
بنابراین با توجه به تعریف کسینوس داریم :
که با توجه به تعریف تانژانت و داریم :
مثال ) نسبت های مثلثاتی 30- درجه را محاسبه کنید ؟
مثال ) مقدار عددی عبارت زری را به دست آورید ؟
محاسبه نسبت های مثلثاتی برحسب نسبت های مثلثاتی Ө:
فرض کنید نیم خط های OB و OC به ترتیب با محور زاویه های Ө و بسازند ، که با توجه به تقارن نسبت به محور y ها داریم :
فرمول